| Summary: | Here is one of the results obtained in this paper: Let <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi mathvariant="sans-serif">Ω</mi> <mo>⊂</mo> <msup> <mrow> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mi>n</mi> </msup> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> be a smooth bounded domain, let <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>q</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, with <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>q</mi> <mo><</mo> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> if <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>3</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and let <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msub> <mi>λ</mi> <mn>1</mn> </msub> </semantics> </math> </inline-formula> be the first eigenvalue of the problem <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mo>−</mo> <mo>Δ</mo> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mi>u</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> in <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mi mathvariant="sans-serif">Ω</mi> </semantics> </math> </inline-formula>, <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> on <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mo>∂</mo> <mi mathvariant="sans-serif">Ω</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. 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