A Formalism for the Consistent Description of Non-Linear Elasticity of Anisotropic Media Formalisme pour une description cohérente de l'élasticité non linéaire des milieux anisotropes - Helbig K. (Oil & Gas Science and Technology, 2006)
The propagation of elastic waves is generally treated under four assumptions: - that the medium is isotropic,- that the medium is homogeneous, - that there is a one-to-one relationship between stress and strain, - that stresses are linearly related to strains (equivalently, that strains are linearly related to stresses). Real media generally violate at least some-and often all-of these assumptions. A valid theoretical description of wave propagation in real media thus depends on the qualitative and quantitative description of the relevant inhomogeneity, anisotropy, and non-linearity: one either has to assume (or show) that the deviation from the assumption can - for the problem at hand - be neglected, or develop a theoretical description that is valid even under the deviation. While the effect of a single deviation from the ideal state is rather well understood, difficulties arise in the combination of several such deviations. Non-linear elasticity of anisotropic (triclinic) rock samples has been reported, e. g. by P. Rasolofosaon and H. Yin at the 6th IWSA in Trondheim (Rasolofosaon and Yin, 1996). Non-linear anisotropic elasticity matters only for non-infinitesimalamplitudes, i. e. , at least in the vicinity of the source. How large this vicinity is depends on the accuracy of observation and interpretation one tries to maintain, on the source intensity, and on the level of non-linearity. This paper is concerned with the last aspect, i. e. , with the meaning of the numbers beyond the fact that they are the results of measurements. As a measure of the non-linearity of the material, one can use the strain level at which the effective stiffness tensor deviates significantly from the zero-strain stiffness tensor. Particularly useful for this evaluation is the eigensystem (six eigenstiffnesses and six eigenstrains) of the stiffness tensor : the eigenstrains provide suitable strain typesfor the calculation of the effective stiffness tensor, and the deviation can be expressed by the relative change of the eigenstiffnesses and by the variation in the direction of the eigenstrains (expressed as vectors in six-dimensional strain space). The suggested procedure is applied to the two materials discussed by Rasolofosaon and Yin (1996). The results allow a heuristic evaluation of the meaning of the reference strain , the square root of the ratio of the norms of the fourth-rank and sixth-rank stiffness tensors. It is stressed that this is not a new theory of non-linearity, but only a different way of viewing the existing theory and results. La propagation des ondes élastiques est généralement traitée sous quatre hypothèses : - le milieu est isotrope, - le milieu est homogène, - il y a une relation biunivoque entre la tension et la déformation, - les tensions sont reliées d'une façon linéaire aux déformations (et de manière équivalente, les déformations sont reliées d'une façon linéaire aux tensions). En général au moins une de ces hypothèses - et souvent toutes - n'est pas vérifiée dans les milieux réels. Une description théorique valide de la propagation des ondes dans les milieux réels dépend ainsi de la description à la fois qualitative et quantitative de l'hétérogénéité, de l'anisotropie et de la non-linéarité : soit on doit supposer (ou montrer) que l'écart par rapport à l'hypothèse de départ peut être - pour le problème considéré - négligé, soit on doit développer une description théorique, valide même en présence de ces écarts. Alors que l'effet d'un seul écart par rapport à un état idéal est relativement bien connu, les difficultés surviennent quand on veut combiner plusieurs de ces écarts. Les propriétés élastiques non linéaires d'échantillons de roche anisotropes (tricliniques) ont été étudiées, par P. Rasolofosaon et H. Yin au 6e IWSA à Trondheim (Rasolofosaon et Yin, 1996). L'élasticité anisotrope non linéaire est importante seulement pour les amplitudes non infinitésimales , c'est-à-dire dans un certain voisinage de la source. L'étendue de ce voisinage dépend de la précision de l'observation et de l'interprétation que l'on tente de maintenir, de l'intensité de la source, et du degré de non-linéarité. Cet article traite du dernier aspect, c'est-à-dire de la signification des nombres au-delà du fait qu'ils sont le résultat de mesures. Pour la mesure de la non-linéarité des matériaux, on peut utiliser le seuil de déformation au niveau duquel le tenseur de rigidité effective s'écarte sensiblement du tenseur de rigidité à déformation nulle. Il est particulièrement utile de prendre en compte le système propre du tenseur de rigidité (six rigidités propres et six déformations propres) : les déformations propres fournissent des types de déformationadaptés au calcul du tenseur de rigidité effective, et la perturbation peut être exprimée par le changement relatif des rigidités propres et par la variation des directions propres associées aux déformations propres (exprimées en tant que vecteurs dans un espace à six dimensions). La méthode suggérée est appliquée aux deux matériaux étudiés par Rasolofosaon et Yin (1996). Les résultats permettent une évaluation heuristique de la signification de la déformation de référence , définie comme la racine carrée du rapport des normes des tenseurs de rigidité du quatrième et du sixième rang. Il est à signaler qu'il ne s'agit pas d'une nouvelle théorie de la non-linéarité, mais d'une nouvelle approche de la théorie existante et des résultats.