| Summary: | Let <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> be two integers with <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>l</mi> <mo>≥</mo> <mn>2</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, <i>c</i> a real number greater than or equal to 1, and <i>f</i> a multivariable function satisfying <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> when <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. We consider an arbitrary order nonlinear difference equation with the indicated function <i>f</i>: <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mspace width="4pt"></mspace> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> where initial values <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> are positive and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="4pt"></mspace> <mi>i</mi> <mo>≥</mo> <mn>3</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, are arbitrary functions of <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="4pt"></mspace> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>≤</mo> <mi>j</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. We classify its solutions into three types with different asymptotic behaviors, and verify the global asymptotic stability of its positive equilibrium solution <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mover accent="true"> <mi>z</mi> <mo>¯</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>c</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>.
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