НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ
Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші-Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальн...
| Main Authors: | , |
|---|---|
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Makarenko Sumy State Pedagogical University
2023-05-01
|
| Series: | Фізико-математична освіта |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://fmo-journal.org/index.php/fmo/article/view/231 |
| _version_ | 1797835982399078400 |
|---|---|
| author | Юрій Бохонов Тетяна Бохонова |
| author_facet | Юрій Бохонов Тетяна Бохонова |
| author_sort | Юрій Бохонов |
| collection | DOAJ |
| description | Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші-Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад.
Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші-Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності.
Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші.
Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші-Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах. |
| first_indexed | 2024-04-09T15:01:18Z |
| format | Article |
| id | doaj.art-e5f40bfca187424c911bc7faef8859f1 |
| institution | Directory Open Access Journal |
| issn | 2413-1571 2413-158X |
| language | English |
| last_indexed | 2024-04-09T15:01:18Z |
| publishDate | 2023-05-01 |
| publisher | Makarenko Sumy State Pedagogical University |
| record_format | Article |
| series | Фізико-математична освіта |
| spelling | doaj.art-e5f40bfca187424c911bc7faef8859f12023-05-01T18:14:03ZengMakarenko Sumy State Pedagogical UniversityФізико-математична освіта2413-15712413-158X2023-05-01382111410.31110/2413-1571-2023-038-2-002233НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯЮрій Бохонов0https://orcid.org/0000-0002-3355-008XТетяна Бохонова1https://orcid.org/0000-0002-8186-5238Київський політехнічний інститут ім. Ігоря Сікорського, УкраїнаКиївський природничо-науковий ліцей № 145, УкраїнаФормулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші-Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад. Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші-Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності. Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші. Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші-Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах.https://fmo-journal.org/index.php/fmo/article/view/231нерівність коші-буняковськогонерівність гелдеравекторкоординати векторалінійний простірнорманерівність трикутникасереднє степеневе |
| spellingShingle | Юрій Бохонов Тетяна Бохонова НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ Фізико-математична освіта нерівність коші-буняковського нерівність гелдера вектор координати вектора лінійний простір норма нерівність трикутника середнє степеневе |
| title | НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ |
| title_full | НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ |
| title_fullStr | НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ |
| title_full_unstemmed | НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ |
| title_short | НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ |
| title_sort | нерівності коші буняковського і гелдера та їхнє узагальнення |
| topic | нерівність коші-буняковського нерівність гелдера вектор координати вектора лінійний простір норма нерівність трикутника середнє степеневе |
| url | https://fmo-journal.org/index.php/fmo/article/view/231 |
| work_keys_str_mv | AT ûríjbohonov nerívnostíkošíbunâkovsʹkogoígelderataíhnêuzagalʹnennâ AT tetânabohonova nerívnostíkošíbunâkovsʹkogoígelderataíhnêuzagalʹnennâ |