| Summary: | Let <inline-formula><math display="inline"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mrow></semantics></math></inline-formula> be a holomorphic Hecke eigenform of weight <i>k</i> with respect to <inline-formula><math display="inline"><semantics><mrow><mi>SL</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="double-struck">Z</mi><mo>)</mo></mrow></semantics></math></inline-formula> and let <inline-formula><math display="inline"><semantics><mrow><mi>L</mi><mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>,</mo><msup><mrow><mi>sym</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mo>∞</mo></munderover></mstyle><msub><mi>c</mi><mi>n</mi></msub><msup><mi>n</mi><mrow><mo>−</mo><mi>s</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mspace width="3.33333pt"></mspace><mo>ℜ</mo><mi>s</mi><mo>></mo><mn>1</mn></mrow></semantics></math></inline-formula> denote the symmetric square <i>L</i>-function of <i>f</i>. In this paper, we consider the Riesz mean of the form <inline-formula><math display="inline"><semantics><mrow><msub><mi>D</mi><mi>ρ</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>;</mo><msup><mrow><mi>sym</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>L</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><mrow><mi>sym</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>Γ</mo><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac><msup><mi>x</mi><mi>ρ</mi></msup><mo>+</mo><msub><mo>Δ</mo><mi>ρ</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>;</mo><msup><mrow><mi>sym</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></semantics></math></inline-formula> and derive the asymptotic formulas for <inline-formula><math display="inline"><semantics><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>T</mi><mo>−</mo><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>T</mi><mo>+</mo><mi>H</mi></mrow></msubsup><msubsup><mo>Δ</mo><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mi>k</mi></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>;</mo><msup><mrow><mi>sym</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></semantics></math></inline-formula>, when <inline-formula><math display="inline"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>≥</mo><mn>3</mn></mrow></semantics></math></inline-formula>.
|
|---|